수학에서의 into와 onto의 차이

아... 참 팔자에도 없는 수학공부를 하려다보니 힘이들다가 하나 써본다.


집합 A를 B로 매칭시키는 함수f 는, 즉

f(A) = B

이렇게 표현할 수 있다.


이럴때 영어 표현에서는

A into B 또는 A onto B 라는 표현을 사용하게 되는데 한글을 모국어로 하는 우리에게는 정확하게 의미가 와닿지 않아 찾아보았다.


1) A onto B (surjection)

f가 A onto B 하다고 하는 뜻은, A라는 집합에 어떤 원소가 f 함수를 거쳐서 나오는 결과는 B에 속하며 B의 모든범위를 덮는다는 뜻이다. 여기선는 1:1 대응된다는 정의가 사용되지 않는다.
쉽게 우리가 배운 용어로 말해,

공역집합과 치역집합이 같고, 1:1 대칭의 여부는 알지 못한다.

는 것이다.



2) A into B (injection)

함수 f가 A into B 라는 성질을 가진 다는 것은,  일대일 대응의 성질만을 포함한다. 공역과 치역이 같을필요는 업으나, 하나의 정의역은 하나의 치역에만 맵핑된다는 소리다.
다시말해,

A는 일대일 대응의 성질을 가지고 함수 f에 의해 B에 맵핑된다.



그리고 onto의 성질(공역=치역)과 into의 성질(일대일)을 모두 만족할때, bijection
우리는 이 함수 f에 대한 역함수를 정의할 수있다.

왜냐하면 이 두가지 성질을 만족하면, 역함수는 모든 정의역 B에 정의되어있고, 그 결과값은 A에 있는 하나의 원소에 맵핑되기 때문에 함수의 성질을 만족하게 된다.